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计算的极限:无穷的彼岸

计算的极限:无穷的彼岸

而正是这个“复杂的性质”,向康托尔暗示了无穷之外另有洞天。

对于任意的点集P,我们可以构造另一个点集P',它包含所有可以用P中的点无限逼近的点。用数学的术语来说,点集P中的某一点p在P'中,当且仅当对于任意小的距离e,都存在P中不同于p但与p距离小于e的点。既然e可以要多小有多小,这也就是说可以用P中的其他点无穷逼近我们所考虑的点p。这样构造出来的点集P',又叫P的导集。导集P'本身也是点集,所以它同样有自己的导集,记作P''。导集的导集也有自己的导集,如此反复,直至无穷。我们可以将P取n次导集操作后的结果记为P(n)

容易知道,一个点集的导集必定是点集的一个子集。实际上,从不太严谨的观点来看,求导集这一操作可以看作一个将点集中那些“离散”的点,也就是那些与所有其他点“保持某个距离”的孤零零的点(或者叫孤立点),从点集中去掉的操作。在一次又一次求导集的操作中,由于我们不停地去掉孤立点,可能会有新的点因为我们除去了它的所有“邻居”而变为新的孤立点,所以多次求导集并非没有意义。

导集的定义并不直观,它的性质也相当复杂。对于一个只有有限个点的点集来说,它的导集必然是空集;而对于一个区间来说,它的导集就是它本身;由数列0.1, 0.01, 0.001, ...组成的点集,它的导集就是仅仅包含0一个点的集合,它的二次导集就是空集。给定一个正整数n,通过一点点思考,再加上一点点数学分析的知识,很容易构造这样的集合,在求它的逐次导集时,前n次得到的都不是空集,最后第n+1次得到的才是空集。有兴趣的读者可以自己尝试构造一下。

pointset1

pointset2

而康托尔的定理中所谓“复杂的性质”,就是上述的性质:如果对于一个点集P,我们对它进行逐次求导集后,在有限次操作后能得到空集,那么即使函数在其上不连续,只要在区间的其它地方都连续,那么它就必然有唯一的三角级数表示。

当然,也有一些集合,无论求多少次的导集,也不会得到空集。但康托尔发现,如果恰当地定义集合的“极限”,那么可以通过有限次求出的导集定义“无限次”的导集,记为P(ω)。之所以用ω,大概是因为这是最后一个希腊字母,代表着终结,正适合“无限”这个概念。

那么,这个挂上“终结”标签的无穷次导集,是否的确是导集这个操作的终结呢?按理说,已经进行了无穷次的导集操作,再操作一次也是无限次,同样无限次的操作,应该只会得到相同的结果。但康托尔发现了一些违背我们期望的集合,即使取了无穷次的导集,得到的结果仍然存在着孤立点,可以通过再次取导集除去。这到底意味着什么?

这一定意味着,我们并没有完全理解无穷。但康托尔的观点甚至更加激进:他认为我们连自然数都没有理解透彻!

数量与顺序

counting something

回想我们清点物品,比如说桌子上的书,又或者盒子中的巧克力时,我们到底干了些什么?我们指着一个物体,说一声“一”,又指着另一个物品,说一声“二”,再指着又一个物品,说一声“三”。在这里,“一”、“二”、“三”到底代表什么?最自然的解释是,因为我们正在清点,所以这些数字代表的就是我们清点过的物品的数量。另一种同样自然的解释是,这些数字代表我们清点的次序,“一”就是第一个物品,“二”就是第二个,如此类推。

也就是说,我们平时使用的自然数,实际上有数量顺序的双重意义。在清点时,我们指着一个物品说“五”,实际上说了两件事情,一是之前一共清点了五件物品,二是现在指着的物品是第五件。对于任何一个自然数,这两重意义总是同时出现,难以分割,所以我们自然难以察觉到,在喃喃自语清点物品时,我们口中说出的每一个数字,实际上都有着双重的含义,而这两种含义实际上是完全不同的。

而康托尔的洞见之一,就是对于无穷而言,这双重的含义不再重合,也不再同时出现在同一个“数字”上。本来数量与顺序就是两种截然不同的东西,两种含义不同才自然。

同样一堆物品,可以有许多不同的清点顺序。比如说光的三原色,可以是红蓝绿,也可以是蓝红绿,还可以是红绿蓝。对于清点顺序的唯一要求,就是对于任意两个物品,清点的时候总是能分出个先后,而且要求有一个物品是“第一次被清点”的,也就是说是所有物品中最先被清点的。用数学术语说,就是要求物品之间有一个全序关系,并且有一个最小元素。

但从另一个方面来看,一堆物品的数量应该是一个固定的值,一个只依赖于这堆物品本身的值,一个从属于这堆物品的固有属性。即使我们需要通过清点这种方式来得知物品的数量,但这个数量应该独立于清点的方式,无论我们如何清点,这堆物品的数量应该都是相同的。

对于有限个物品来说,如果不考虑物品之间的差异的话,清点的方法只有一种。无论是红蓝绿还是绿红蓝,实际上都是1-2-3这个清点顺序。所以对于有限而言,数量和顺序之间可以一一对应起来,所以我们只需要自然数这一个概念,就能同时描述有限的数量与有限的顺序,每一个自然数也因此具有双重的含义。但对于无限个物品来说,即使是同一堆东西,我们也可以有无穷无尽的清点方法。我们最常接触的有无限个元素的集合,就是所有自然数组成的集合,这个集合就可以有许多种不同的清点方法。

最自然的方法当然是从小数到大:

0, 1, 2, 3, 4, ...

也可以先数偶数,再数奇数:

0, 2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, 7, ...

也可以先数质数,再数合数,最后数1:

2, 3, 5, 7, 11, ..., 4, 6, 8, 9, 10, ..., 1

当然也可以先数比5大的所有数,然后再数剩下的:

6, 7, 8, ..., 0, 1, 2, 3, 4, 5

清点的方法无穷无尽,但自然数的个数应该是一个固定的量,独立于这些各不相同的清点方法。康托尔洞察到了这一点,他意识到,对于无穷而言,需要用两个不同的概念,分别描述数量与顺序。为此,他提出了基数与序数两个概念,前者描述集合的数量,后者描述清点的顺序。这两个概念一直沿用至今。给出一个清点的顺序,自然能得到集合中元素的数量,所以一个序数对应着唯一的基数;但对于某个特定的集合,它可以有许多种不同的清点方法,所以一个基数可以对应许许多多不同的序数。对于有限的集合来说,它们的基数对应着唯一的序数,所以可以将二者混为一谈,这正是我们常用的自然数。

在厘清有关无限的观念滞后,关于点集导集的谜题就自然消解了:当我们说“进行了无限次导集操作之后再取导集,也是相当于取了无限次导集时”,实际上我们谈论的是操作的数量;但导集毕竟是一个操作,逐次重复操作的结果有着内在的顺序关系,先有前面的结果,再有后面的结果。导集的结果,实际上对应的是序数,而我们却用基数的观念来思考,当然会导致似是而非的结果。

实际上,许多关于无穷的看似矛盾结论,都可以归根于我们在日常经验中对数量与顺序的混淆。比如说有人会认为偶数比自然数少,是因为自然数除了偶数之外还有奇数,但实际上这种说法隐含了“先数偶数再数奇数”的这一清点顺序,用这种方法偶数会比自然数先清点完,而我们现在知道,对于无限个物品来说,可以有无数种不同的清点方法,清点方法一先一后穷尽,并不必然代表数量一大一小,关于无穷的怪论也就自然消解了。我们在日常生活中接触到的物体都只有有限个,所以将基数和序数混为一谈也没有关系,但对于导集这种可以产生无穷个对象的机制来说,基数与序数,也就是数量与顺序,一定不能混淆。

以此为基础,康托尔意识到了集合的重要性,并以此为基础发展出了朴素集合论,也意识到“无穷”也有无穷个不同的级别,并称之为“超穷”,意即超验(超越日常经验)的无穷。经过第三次数学危机之后,由朴素集合论发展而来的公理集合论已经成为公认的数学基础。对公理集合论的研究,已经成为了数理逻辑的重要研究方向之一。而超穷基数与序数也已经成为数学研究中不可或缺的概念。希尔伯特这位大数学家的评价或许最为恰当:“没有人能将我们驱逐出康托尔创造的这片乐园”。

序数构成的螺旋,图片来自Wikipedia

序数构成的螺旋,图片来自Wikipedia

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